MATEMATICA II

INTRODUCCIÓN

Para conocer  el elemento  curvo  en  plano y  las  revoluciones  que  lo  ejemplifican , es  necesario remontarse  en  los  elementos descritos por Pappus. En  sus  investigaciones denota  dos teoremas que relacionan superficies y volúmenes de sólidos de revolución con sus respectivos centroides. Las curvas planas, representan una magnitud de rotación; este generalmente incluye las características y las coordenadas polares en que se encuentran. Principalmente se refiere a un punto en el plano bidimensional que es determinado por la distancia y angulo. 

CALCULO DE LONGITUD DE UNA CURVA

En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

Una superficie de revolución se forma cuando se hace girar una curva en torno de una recta. Podemos imaginar que se desprende una capa externa muy delgada del cuerpo de revolución y que la cascara se aplana para poder medir su área.

Cuando sea positiva y tenga derivada continua, definimos al área superficial de la superficie obtenida al hacer girar la curva en torno al eje x

Con la notación de Leibniz para derivadas la ecuación se transforma en:

Si la curva se describe con la ecuación la ecuación se convierte

Se puede resumir de forma simbolica,

Rotacion en torno eje x

Rotacion en torno eje y

Donde se refiere a :

ó

TRABAJO MECÁNICO

FUERZA CONSTANTE: El trabajo que realiza una fuerza constante a lo largo de un espacio , en línea recta, es unidades.

En pocas palabras, el trabajo es cuando se la aplica una fuerza a un objeto y esta misma recorre una distancia o desplazamiento. El trabajo se mide en Joules.

Es importante saber que todas las fuerzas que están perpendiculares a la superficie de un objeto, no realizan trabajo.

Si existe una inclinación y se quiere calcular el trabajo sobre el objeto ubicado en una superficie inclinada entonces el trabajo se calcula de la siguiente manera:

Donde

es la fuerza

es el Angulo de inclinación

es la distancia que el objeto recorre

FUERZA VARIABLE: Para hallar el trabajo realizado por una fuerza que varía constantemente a lo largo de un espacio rectilíneo, que se desplaza desde hasta ,

¿Cómo se calcula cuando la fuerza es variable?

A través de una integral.

Para encontrar el trabajo necesario para mover un objeto desde un punto a hasta un punto b:

• Dividir el intervalo [a,b] en n subintervalos de ancho

• Elegimos un punto muestra en el i-ésimo subintervalo

PRESIÓN DE LÍQUIDO

La presión en un fluido es la presión termodinámica que interviene en la ecuación constitutiva y en la ecuación de movimiento del fluido, en algunos casos especiales esta presión coincide con la presión media o incluso con la presión hidrostática. Todas las presiones representan una medida de la energía potencial por unidad de volumen en un fluido. Para definir con mayor propiedad el concepto de presión en un fluido se distinguen habitualmente varias formas de medir la presión:

• La presión media, o promedio de las presiones según diferentes direcciones en un fluido, cuando el fluido está en reposo esta presión media coincide con la presión hidrostática.
• La presión hidrostática es la parte de la presión debida al peso de un fluido en reposo. En un fluido en reposo la única presión existente es la presión hidrostática, en un fluido en movimiento además puede aparecer una presión hidrodinámica adicional relacionada con la velocidad del fluido. Es la presión que sufren los cuerpos sumergidos en un líquido o fluido por el simple y sencillo hecho de sumergirse dentro de este. Se define por la fórmula donde es la presión hidrostática, es el peso específico y profundidad bajo la superficie del fluido.
• La presión hidrodinámica es la presión termodinámica dependiente de la dirección considerada alrededor de un punto que dependerá además del peso del fluido, el estado de movimiento del mismo.

CENTRO DE MASAS

El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente se abrevia como cm.

CENTROIDE DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.

TEOREMA DE PAPPUS

Teorema del centroide de Pappus, también conocido como teorema de Guldin, teorema de Pappus-Guldin o teorema de Pappus, es el nombre de dos teoremas que relacionan superficies y volúmenes de sólidos de revolución con sus respectivos centroides.

Los teoremas se les atribuyen a Pappus de Alejandría y a Paul Guldin.

·         PRIMER TEOREMA

El área A, de una superficie de revolución generada mediante la rotación de una curva plana C alrededor de un eje externo a tal curva sobre el mismo plano, es igual a su longitud L, multiplicada por la distancia, d recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor de dicho eje

·         SEGUNDO TEOREMA

El volumen, V, de un sólido de revolución generado mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje externo, es igual al producto del área, A, por la distancia, d recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje.

APLICACIONES EN COORDENADAS POLARES

Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual punto del plano se determina por una distancia y un Angulo ampliamente utilizados en física y trigonometría.

Algunas veces conviene representar un punto P en el plano por medio de coordenadas polares planas (r), donde r se mide desde el origen y es el ángulo entre r y el eje x.

Para establecer la relación entre coordenadas cartesianas y polares es suficiente proyectar r sobre los ejes x e y. De la gráfica se sigue que: Las dos ecuaciones anteriores permiten expresar las coordenadas cartesianas en términos de las polares. Recíprocamente, las coordenadas polares pueden expresarse en términos de las cartesianas.

EL ANGULO ENTRE EL RADIO VECTORIAL

Dado que se usan los ángulos, es evidente que un mismo punto puede tener distintas coordenadas polares; eso si todas ellas con el mismo radio vector y con argumentos que difieran en múltiplos enteros de 2TT ( dicho de otra forma: calcular el argumento se refiere a dar unas vueltecitas).

Además para el polo, y solo para él, se da la circunstancia de que no tiene sentido hablar de argumentos, ya que en este caso el segmento que une un polo consigo mismo se reduce a un punto y por tanto no hay Angulo con el eje polar, así se aceptan como coordenadas polares del polo cualquier par (0,0).

LÍNEA TANGENTE

Es una línea que TOCA (no corta, toca) a una curva(circunferencia, elipse, parábola, hipérbola) en un solo punto, y cuando toca a una circunferencia tiene la característica de ser perpendicular al radio que va del centro al punto de tangencia. 
Desde un punto exterior a una circunferencia, se pueden trazar dos tangentes de igual medida. La bisectriz del ángulo que forman esas dos tangentes pasa por el centro de la circunferencia.

ÁREAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES

Dado un punto ,  hay un único par de números  tales que ,  y que verifican las igualdades . Dichos números se llaman coordenadas polares del punto  y vienen dados por ,  si , y   en otro caso. El número θ se llama ángulo polar del vector  y el número ρ es la norma euclídea de dicho vector. La función "polares[{x,y}]" proporciona las coordenadas polares del punto de coordenadas cartesianas . La función "cartesianas[{ρ,θ}]" proporciona las coordenadas cartesianas del punto de coordenadas polares .  Practica un poco con estos comandos y observa cómo la función "ArcTan[x,y]" tiene en cuenta el cuadrante donde está el punto .

VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

Cuando una región del plano de coordenadas gira alrededor de una recta, se genera un cuerpo geométrico denominado sólido de revolución. La recta se denomina eje de giro. En este capítulo se estudiará como determinar el volumen de estos sólidos si los ejes de giro son paralelos a los ejes coordenados. 

CONCLUSIÓN

Luego de haber visto las características que forman una curva que se encuentra en modo de revolución; y todos los aportes realizados por sus progenitores, se definieron de forma elemental dando conceptos de cada parte. En sí, Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual punto del plano se determina por una distancia y un Angulo ampliamente utilizados en física y trigonometría, lo que específicamente está determinado para que el punto que se encuentre en el plano sea determinado.