MATEMATICA II

INTRODUCCIÓN

Para conocer  el elemento  curvo  en  plano y  las  revoluciones  que  lo  ejemplifican , es  necesario remontarse  en  los  elementos descritos por Pappus. En  sus  investigaciones denota  dos teoremas que relacionan superficies y volúmenes de sólidos de revolución con sus respectivos centroides. Las curvas planas, representan una magnitud de rotación; este generalmente incluye las características y las coordenadas polares en que se encuentran. Principalmente se refiere a un punto en el plano bidimensional que es determinado por la distancia y angulo. 

CALCULO DE LONGITUD DE UNA CURVA

En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

Una superficie de revolución se forma cuando se hace girar una curva en torno de una recta. Podemos imaginar que se desprende una capa externa muy delgada del cuerpo de revolución y que la cascara se aplana para poder medir su área.

Cuando sea positiva y tenga derivada continua, definimos al área superficial de la superficie obtenida al hacer girar la curva en torno al eje x

Con la notación de Leibniz para derivadas la ecuación se transforma en:

Si la curva se describe con la ecuación la ecuación se convierte

Se puede resumir de forma simbolica,

Rotacion en torno eje x

Rotacion en torno eje y

Donde se refiere a :

ó

TRABAJO MECÁNICO

FUERZA CONSTANTE: El trabajo que realiza una fuerza constante a lo largo de un espacio , en línea recta, es unidades.

En pocas palabras, el trabajo es cuando se la aplica una fuerza a un objeto y esta misma recorre una distancia o desplazamiento. El trabajo se mide en Joules.

Es importante saber que todas las fuerzas que están perpendiculares a la superficie de un objeto, no realizan trabajo.

Si existe una inclinación y se quiere calcular el trabajo sobre el objeto ubicado en una superficie inclinada entonces el trabajo se calcula de la siguiente manera:

Donde

es la fuerza

es el Angulo de inclinación

es la distancia que el objeto recorre

FUERZA VARIABLE: Para hallar el trabajo realizado por una fuerza que varía constantemente a lo largo de un espacio rectilíneo, que se desplaza desde hasta ,

¿Cómo se calcula cuando la fuerza es variable?

A través de una integral.

Para encontrar el trabajo necesario para mover un objeto desde un punto a hasta un punto b:

• Dividir el intervalo [a,b] en n subintervalos de ancho

• Elegimos un punto muestra en el i-ésimo subintervalo

PRESIÓN DE LÍQUIDO

La presión en un fluido es la presión termodinámica que interviene en la ecuación constitutiva y en la ecuación de movimiento del fluido, en algunos casos especiales esta presión coincide con la presión media o incluso con la presión hidrostática. Todas las presiones representan una medida de la energía potencial por unidad de volumen en un fluido. Para definir con mayor propiedad el concepto de presión en un fluido se distinguen habitualmente varias formas de medir la presión:

• La presión media, o promedio de las presiones según diferentes direcciones en un fluido, cuando el fluido está en reposo esta presión media coincide con la presión hidrostática.
• La presión hidrostática es la parte de la presión debida al peso de un fluido en reposo. En un fluido en reposo la única presión existente es la presión hidrostática, en un fluido en movimiento además puede aparecer una presión hidrodinámica adicional relacionada con la velocidad del fluido. Es la presión que sufren los cuerpos sumergidos en un líquido o fluido por el simple y sencillo hecho de sumergirse dentro de este. Se define por la fórmula donde es la presión hidrostática, es el peso específico y profundidad bajo la superficie del fluido.
• La presión hidrodinámica es la presión termodinámica dependiente de la dirección considerada alrededor de un punto que dependerá además del peso del fluido, el estado de movimiento del mismo.

CENTRO DE MASAS

El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente se abrevia como cm.

CENTROIDE DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.

TEOREMA DE PAPPUS

Teorema del centroide de Pappus, también conocido como teorema de Guldin, teorema de Pappus-Guldin o teorema de Pappus, es el nombre de dos teoremas que relacionan superficies y volúmenes de sólidos de revolución con sus respectivos centroides.

Los teoremas se les atribuyen a Pappus de Alejandría y a Paul Guldin.

·         PRIMER TEOREMA

El área A, de una superficie de revolución generada mediante la rotación de una curva plana C alrededor de un eje externo a tal curva sobre el mismo plano, es igual a su longitud L, multiplicada por la distancia, d recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor de dicho eje

·         SEGUNDO TEOREMA

El volumen, V, de un sólido de revolución generado mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje externo, es igual al producto del área, A, por la distancia, d recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje.

APLICACIONES EN COORDENADAS POLARES

Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual punto del plano se determina por una distancia y un Angulo ampliamente utilizados en física y trigonometría.

Algunas veces conviene representar un punto P en el plano por medio de coordenadas polares planas (r), donde r se mide desde el origen y es el ángulo entre r y el eje x.

Para establecer la relación entre coordenadas cartesianas y polares es suficiente proyectar r sobre los ejes x e y. De la gráfica se sigue que: Las dos ecuaciones anteriores permiten expresar las coordenadas cartesianas en términos de las polares. Recíprocamente, las coordenadas polares pueden expresarse en términos de las cartesianas.

EL ANGULO ENTRE EL RADIO VECTORIAL

Dado que se usan los ángulos, es evidente que un mismo punto puede tener distintas coordenadas polares; eso si todas ellas con el mismo radio vector y con argumentos que difieran en múltiplos enteros de 2TT ( dicho de otra forma: calcular el argumento se refiere a dar unas vueltecitas).

Además para el polo, y solo para él, se da la circunstancia de que no tiene sentido hablar de argumentos, ya que en este caso el segmento que une un polo consigo mismo se reduce a un punto y por tanto no hay Angulo con el eje polar, así se aceptan como coordenadas polares del polo cualquier par (0,0).

LÍNEA TANGENTE

Es una línea que TOCA (no corta, toca) a una curva(circunferencia, elipse, parábola, hipérbola) en un solo punto, y cuando toca a una circunferencia tiene la característica de ser perpendicular al radio que va del centro al punto de tangencia. 
Desde un punto exterior a una circunferencia, se pueden trazar dos tangentes de igual medida. La bisectriz del ángulo que forman esas dos tangentes pasa por el centro de la circunferencia.

ÁREAS PLANAS Y COORDENADAS POLARES

Dado un punto ,  hay un único par de números  tales que ,  y que verifican las igualdades . Dichos números se llaman coordenadas polares del punto  y vienen dados por ,  si , y   en otro caso. El número θ se llama ángulo polar del vector  y el número ρ es la norma euclídea de dicho vector. La función "polares[{x,y}]" proporciona las coordenadas polares del punto de coordenadas cartesianas . La función "cartesianas[{ρ,θ}]" proporciona las coordenadas cartesianas del punto de coordenadas polares .  Practica un poco con estos comandos y observa cómo la función "ArcTan[x,y]" tiene en cuenta el cuadrante donde está el punto .

VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

Cuando una región del plano de coordenadas gira alrededor de una recta, se genera un cuerpo geométrico denominado sólido de revolución. La recta se denomina eje de giro. En este capítulo se estudiará como determinar el volumen de estos sólidos si los ejes de giro son paralelos a los ejes coordenados. 

CONCLUSIÓN

Luego de haber visto las características que forman una curva que se encuentra en modo de revolución; y todos los aportes realizados por sus progenitores, se definieron de forma elemental dando conceptos de cada parte. En sí, Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual punto del plano se determina por una distancia y un Angulo ampliamente utilizados en física y trigonometría, lo que específicamente está determinado para que el punto que se encuentre en el plano sea determinado.

INFORME-Practica de Laboratorio 1 de Fisica-Magnitudes Fisicas

Resumen

     La siguiente experiencia a realizar estará basada en el estudio de las magnitudes físicas para la obtención de medidas caracterizadas por sus unidades en las cuales se exprese la utilización de objetos como lo es el Vernier y el Tornillo Micrométrico. Sabiendo que estos procesos son llevados a través de la extracción de datos donde se explican las medidas. En lo sucesivo la práctica cuenta con el objeto de identificar las unidades y proceso se explica de manera esquemática el proceso realizado y los datos obtenidos para la adquisición de los márgenes exactitud y precisión en las medidas y presentar el establecimiento de errores en la utilización de los instrumentos. Las técnicas estructuradas son diseñadas para captar los márgenes de exactitud y error en las mediciones.

Introducción

     Para manejar un sistema de unidades, es necesaria la apreciación de las mediadas a utilizar. Esto se presenta de manera importante en áreas laborales para la adquisición de dimensiones y sus tamaños, la conversión de estas medidas si es necesario, de igual manera suele presentarse desde la tarea más simple y cotidiana la necesidad de utilizar medidas precisas o más cercanas en su número a lo exacto. Si bien, las magnitudes físicas están presentes en el ámbito académico y su importancia es notable al realizar cualquier tipo de mediciones, esto va desde las mediciones teóricas (presentes en salones de clase para acatar medidas) hasta las prácticas (dadas en los laboratorios para la estructuración y estructuramiento de un problema).

  

Marco Teórico

Magnitud Física: Una magnitud física es una propiedad o cualidad medible de un sistema físico, es decir, a la que se le pueden asignar distintos valores como resultado de una medición o una relación de medidas. Las magnitudes físicas se miden usando un patrón que tenga bien definida esa magnitud, y tomando como unidad la cantidad de esa propiedad que posea el objeto patrón. Por ejemplo, se considera que el patrón principal de longitud es el metro en el Sistema Internacional de Unidades.

Magnitudes Escalares: Las magnitudes escalares son aquellas que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas para su medida. Esto es, las magnitudes escalares están representadas por el ente matemático más simple, por un número. Podemos decir que poseen un módulo, pero que carecen de dirección.

Magnitudes Vectoriales: Las magnitudes vectoriales son aquellas que quedan caracterizadas por una cantidad (intensidad o módulo), una dirección y un sentido. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa mediante un segmento orientado. Ejemplos de estas magnitudes son: la velocidad, la aceleración, la fuerza, el eléctrico, intensidad, etc.

Unidad: Una unidad de medida es una cantidad estandarizada de una determinada magnitud física, definida y adoptada por convención o por ley.

Errores De Medición: se define como la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero. Afectan a cualquier instrumento de medición y pueden deberse a distintas causas. Las que se pueden de alguna manera prever, calcular, eliminar mediante calibraciones y compensaciones, se denominan determinísticos o sistemáticos y se relacionan con la exactitud de las mediciones. Los que no se pueden prever, pues dependen de causas desconocidas, o estocásticas se denominan aleatorios y están relacionados con la precisión del instrumento.

Error Aleatorio: No se conocen las leyes o mecanismos que lo causan por su excesiva complejidad o por su pequeña influencia en el resultado final.

Para conocer este tipo de errores primero debemos de realizar un muestreo de medidas. Con los datos de las sucesivas medidas podemos calcular su media y la desviación típica muestral.

Error Sistemático: Permanecen constantes en valor absoluto y en el signo al medir, una magnitud en las mismas condiciones, y se conocen las leyes que lo causan.

Errores Accidentales: Son errores debidos a causas imprevistas o al azar.

Son imposibles de controlar y alteran, ya sea por exceso  o por defecto, la

Medida realizada. Este tipo de errores puede eliminarse mediante la realización

de estudios estadísticos. Pueden deberse a:

Cambios durante el experimento de las condiciones del entorno. Por ejemplo,

debido a corrientes de aire, desnivel en la mesa donde se está midiendo,

aumento de temperatura, etc.

Errores de apreciación. Son debidos a fallos en la toma de la medidas

asociados a limitaciones (visuales, auditivos, etc.) del observador, o también a

Estimación “a ojo” que se hace de una cierta fracción de la más pequeña

División de la escala de lectura de los aparatos de medida.

Media Aritmética: se define como el valor óptimo y más probable de una serie de mediciones.

Vernier: es un instrumento de medición parecido, en la forma, a una llave stillson, sirve para medir con mediana precisión hasta 128 de pulgada y hasta diezmilésimas de metro, más o menos funciona así, primero haces una aproximación de la medida con el cero.

Tornillo Micrométrico: es un instrumento utilizado para la medición con gran precisión.

Marco Metodológico

     La metodología a utilizar en la práctica se realizó de forma esquemática. En las cuales se trabajaron con fórmulas y problemas que al realizarlos presentaron una serie de resultados. Estos resultados fueron plasmados en la tabla de datos para la apreciación del estructuramiento o los resultados que se esperaban al realizar este esquema. En las condiciones de trabajo en las que se manejó la toma de datos no fueron exactamente las mejores ya que existía un margen de error. Este pudo ser causado por una mala utilización del instrumento de medición o una mala colocación del instrumento a medir. Usualmente lo podemos presenciar en la toma de datos que es donde existe el desacuerdo entre la toma de cada uno de los integrantes en lo que respecta a los datos adquiridos.

     Al hacer la toma de datos de utilizo el mismo procedimiento de medición en cada integrante del grupo y las mismas experiencias plasmadas en la guía facilitadora de información.

Análisis De Los Resultados

     En el consecuente laboratorio se expresaron una serie de medidas. Estas fueron analizadas, aclaradas y revisadas por cada uno de los estudiantes del grupo de trabajo. Los objetos a medir fueron tres. Un tubo de ½, una moneda y un vaso.

     Si bien es cierto las medidas fueron realizadas con el mismo instrumento a trabajar (El Vernier),  con su debida apreciación. se procedió a plasmar los datos obtenidos por cada uno de los integrantes del grupo.

En el tubo de ½ se visualizaron tales medias

Moisésà 1,8 cm                                             Exwilmedisà1,9 cm

Carlos à1,8 cm                                               Edgar à1,9 cm

 Lo sucedido en las medidas tomadas fueron sustituidas en una serie de elementos y formulas en las cuales se presentaron los márgenes de exactitud, precisión y error en la serie de mediciones.

Xi	ni	Ni	fi	Fi
1,8	2	2	0,5	5%
1,9	2	4	1	1%

X=E (1,8 * 5)/4 = 2 ,25

X=E (1,9 * 1)/4= 0,47                       (2,25+0,47)= 2,72

Su media aritmética fue de 2,72. Este es presentado como el valor óptimo o más probable de una serie de mediciones. Es decir, que los resultados obtenidos en la serie de mediciones fueron sustituidos en la fórmula de media aritmética para la obtención de un el valor más probable de las medidas.

Moneda

     Al manejar el vernier y medir con supuesta exactitud un objeto como lo es la moneda, se pudo apreciar la captación de medidas. Estas medidas no fueron exactas ya que existe un índice y un margen de error que complica la adquisición de una medida completa y netamente exacta. Los datos obtenidos fueron:

Moisés à 2,18 cm                                              Exwilmedis à2,15 cm

Carlos à2,15 cm                                                Edgarà2,17 cm

     Estas medidas fueron adquiridas por medio del instrumento vernier, es decir, que estaban presentes en milímetros mm y posteriormente fueron convertidas a centímetros cm.

Xi	ni	Ni	fi	Fi
2,18	1	1	0,25	25%
2,15	2	3	0,75	75%
2,17	1	4	1	1%

X=E (2,18 * 25) /4= 13,25

X=E (2,15 *75) /4=40,31

X=E (2,17 *1) /4= 0,54              (13,25 + 40,31 + 0,54)=54,1

Las medidas obtenidas son las medidas más probables dadas y sustituidas en la fórmula para la apreciación de su media aritmética.

Vaso

    Para la presentación de los que fue el vaso se observó y se colocó de la misma forma o forma que pareció correcta al tomar dichas medidas. ya que las ondulaciones del vaso darían medidas no exactas se produjeron en la parte inferior del vaso permitiendo un mejor agarre y precisión en lo que es la toma de datos.

     Acto seguido se produjo la adquisición de datos por parte de los integrantes del grupo las cuales fueron:

Moisés à 5,49 cm                                              Exwilmedis à 5,4 cm

Carlos à5,45 cm                                                 Edgar à5,49 cm

Xi	ni	Ni	fi	Fi
5,49	2	2	0,5	5%
5,45	1	3	0,75	75%
5,4	1	4	1	1%

X=E (5,49 * 5) /4= 6,86

X=E (5,45 * 75) /4=102, 18                

X=E (5,4 *1) /4 =1,35                                  (6,86 + 102,18 + 1,35)= 110,39

     La media aritmética obtenida fue expresada consecuentemente de la adquisición de los datos obtenidos por la medición del vaso.

Conclusión

    Si bien, las magnitudes físicas y los sistemas de unidades nos ayudan a presentar las dimensiones y tamaños, estos también cuentan con un margen de error los cuales se presentan por cualquier tipo de fallas, en el instrumento de medición, en la forma de obtención de medidas e incluso hasta los lugares en los cuales son tomadas dichas medidas. Los datos obtenidos en la práctica de laboratorio expresa la falla o error que se implementó en el caso, esto quiere decir que mientras exista un error en la adquisición de datos se complementa la falla en la toma de datos se puede obtener un punto específico de datos mediante la utilización de cuadros y formulas en los cuales se calculan los puntos medios de los datos para la obtención de una medida más precisa de los que se está tomando los datos.

     No solo se obtienen medidas precisas, sino también márgenes que especifican el error cometido para la toma y la obtención de estos datos plasmados esquemáticamente.

Bibliografía

·         Guía De Laboratorio //Prof: Hendrymar colina

·         http://electricamaracay.blogspot.com/2012/04/guias-de-laboratorio-de-fisica-i.html